Ecuaciones diferenciales

1.- Euler
Con el método de Euler se resuelven ecuaciones diferenciales ordinarias dado un valor inicial

$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$
$y(x_0) = y(0)$
$y(x_i) = ???$

La solución de la ecuación diferencial en el punto inicial es $x_0$ y $y_0$, esto es
$F'(x) = \left. \frac{dy}{dx}\right|_{x_0 , y_0} = f(x_0 , y_0 )$, como la derivada en un punto es igual a la pendiente de ese punto, aproximamos la solución mediante el calculo de la pendiente, esto es:

$f(x_0 , y_0 ) =\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$

primero se divide el dominio $[x_0 x_n]$ en n intervalos, esto es:
 $h=\frac{x_n - x_0}{n}$
Para el cálculo del siguiente x:
$x_1 = x_0 + i h$, en donde $i = 0, 1, 2, ..., n$, luego
$y_1 = y_0 + (x_1 - x_0)f(x_0 , y_0 )$, como $h = x_1 - x_0$, entonces
$y_1 = y_0 + hf(x_0 , y_0 )$, en general
$y_{i+1} = y_i + hf(x_i , y_i )$


2.- Runge Kutta

Al igual que en el método de Euler, se resuelven ecuaciones diferenciales ordinarias dado un valor inicial


$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$
$y(x_0) = y(0)$
$y(x_i) = ???$

El problema se resuelve mediante la siguiente ecuación

$y_{i+1} = y_i + (\frac{k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4}{6})h$

Donde

$k_1 = f(x_i ,y_i)$
$k_2 = f(x_i + \frac{1}{2}h,y_i+ \frac{1}{2}k_1h)$
$k_3 = f(x_i + \frac{1}{2}h,y_i+ \frac{1}{2}k_2h)$
$k_4 = f(x_i + h,y_i+ k_3h)$

Observe que n el método de Euler $k_i$ es la pendiente, en Runge Kutta se calcula un promedio ponderado de pendientes.